Biografija

Odmah po povratku u Srbiju, 1894. godine izabran je za redovnog profesora Velike škole. Bio je jedan od prvih osam redovnih profesora Univerziteta u Beogradu, osnovanog 1905. godine, i sve do penzionisanja 1938, predavao je teorijsku matematiku na Filozofskom fakultetu. Bio je prodekan i dekan tog fakulteta. Takođe je imao zvanje professeur agrégé na univerzitetima u Parizu i Brisku.

Redovni član Srpske kraljevske akademije postao je 1900. godine i veoma je aktivno učestvovao u njenom radu. Bio je član i više inostranih akademija nauka i velikog broja naučnih društava.

Veoma svestrana ličnost, Petrović se bavio i pronalazaštvom, a objavio je i književne, putopisne, istorijske i etnografske radove i knjige. Bio je ribarski majstor i objavio je više radova iz ribarstva.

U periodu od 1894. do 1938. godine držao je 16 različitih kurseva iz teorijske matematike, od kojih je neke godinama ponavljao. Za 8 kurseva izdao je autorizovana skripta, a takođe je objavio i 3 univerzitetska udžbenika koji su takođe napisani na osnovu održanih kurseva.

Uneo je nov, svež duh na Katedru za matematiku. On je nastavu zamislio i izvodio po uzoru na parisku školu, tada verovatno i najbolju na svetu. Snabdevao je biblioteku aktuelnim časopisima i učio svoje studente da se koriste literaturom. Seminari koje je vodio bili su dobar način uvođenja mladih u načni rad. Pod njegovim rukovodstvom izrađeno je deset doktorskih disertacija iz teorijske matematike.

Pored već navedenih skripti i udžbenika, bibliografija Petrovićevih radova sadrži 257 naučnih i stručnih radova, 5 patenata, 10 monografija, 13 književnih, istorijskih i etnografskih radova i knjiga kao i 18 stručnih radova iz ribarstva.

Svoje naučne radove objavljivao je u uglednim svetskim časopisima. Oni su bili lepo prihvaćeni u matematičkoj javnosti pa je Petrović često pozivan da učestvuje na međunarodnim kongresima, što je rado i činio. Petrović se uglavnom bavio onom granom matematike koja se danas naziva klasična analiza, a koja se krajem prošlog i početkom ovog veka (dakle, u doba kada je Petrović studirao, doktorirao i otpočinjao svoju naučnu karijeru) zvala moderna analiza. Grubo rečeno, to je analiza koja se bavi ispitivanjem, tj. otkrivanjem osobina raznih realnih i kompleksnih funkcija koje su definisane potencijalnim redovima, određenim integralima ili rešenjima diferencijalnih jednačina.

Ukazujemo na nekoliko interesantnijih tema iz klasične analize kojima se bavio Mihailo Petrović.

1. Opšte rešenje neke diferencijalne jednačine ima razne osobine koje, prirodno, zavise od integracionih konstanata. Petrović je u više radova tražio uslove koji obezbeđuju invarijabilnost (nepromenljivost) tih osobina u odnosu na konstante. On je dao potrebne i dovoljne uslove za invarijabilnost nula i polova rešenja algebarskih diferencijalnih jednačina prvog reda, a dovoljne uslove za invarijabilnost nula i polova rešenja algebarskih diferencijalnih jednačina višeg reda. Takođe je ispitivao invarijabilnost ekstremuma, prevojnih tačaka, asimptotskih vrednosti. Tim pitanjima posebno se bavio u tezi, a i u nekim kasnijim radovima.
2. Jedan od najvažnijih rezultata iz teze Petrović je objavio kao poseban rad (Sur les intégrales uniformes des équations differentielles du premier ordre et du genre zéro. C.R. Acad. Sci. Paris 118 (1894), 1190-1193.) u kome se razmatra diferencijalna jednačina y^{\prime} = R(x,y) , gde je R racionalna funkcija po x i y. Petrović je dokazao da ta jednačina ne može da ima više od tri različita (algebarski nezavisna) integrala. Pri tome, ako ih ima tri, jednačina je Riccati-eva, a Petrović je precizirao i oblik jednačine kada ona ima dva ili jedan integral. Ovaj rezultat bio je odmah zapažen, pa je na primer É. Picard u svom čuvenom delu Traité d’Analyse, t.3, Paris 1896, pp.356-359 preneo kompletan tekst ovog Petrovićevog rada.
3. Kvalitativnoj analizi diferencijalnih jednačina Petrović je posvetio više radova. Posebno je značajan njegov rad (Sur une maniére d’étendre le théoréme de la moyenne aux équations differentielles du premier ordre. Math. Annalen 54 (1899), 417-436.) u kome je, u suštini, iskazana i dokazana važna teorema koja se pripisuje Čapljiginu. Štaviše, Petrovićeva formulacija je preciznija, jer ne pretpostavlja jednistvenost rešenja, kao što to čini Čapljigin. O prioritetu Petrovića u odnosu na Čapljigina pisao je M. Bertolino (Priorité de Michel Petrovitch relative au théoréme de Tchaploguine su les inégalités differentielles du premier ordre. Mat. Vesnik 4(19) (1967), 165-168.).
4. Petrovićev rad (Contribution á la théorie des solutions singuliéres des équations differentielles du premier ordre. Math. Annalen 50(1896), 103-112.) o singularnim rešenjima diferencijalnih jednačina prvog reda naveden je u nekoliko knjiga, na primer u čuvenom udžbeniku E. L. Ince-a:Ordinary differential equations. Dover Publication, New York 1958, p. 87.
5. Petrović je uopštio dve osnovne teoreme teorije analitičkih funkcija, Cauchy-jevu i Jensen-ovu. Naime, on je dokazao (Procédé élémentaire d’application des intégrales définiesréelles aux équations algébriques et transcendantes. Nouv. ann. math. (4) 8 (1908), 1-15.) sledeće teoreme:
   Teorema 1
   Neka je funkcija g neprekidna u intervalu (0,2\pi) i ortogonalna na nizu funkcija t\rightarrow coskt\ (k=1,2,…) i neka je funkcija f meromorfna sa osobinom da f(z)\in R kad z\in R. Tada je \int_{0}^{2\pi}g(t)RF(z){\mathrm{d}t}= (N-P)\int_{0}^{2\pi}g(t)\mathrm{d} t gde je F(z) = \frac{z{f}'(z)}{f(z)}, z = re^{it}, a N i P  su redom broj nula i polova funkcije f, uzetih onoliko puta koliki je njihov red u oblasti \left | z \right |<r.

   Teorema 2
   Neka funkcija g ima iste osobine kao u Teoremi 1. Neka su v_{1},…,v_{m} nule, a p_{1},…,p_{n} polovi funkcije f u oblasti \left | z \right |<r. Tada je \int_{0}^{2\pi}g(t)R(\log\left | f(z) \right |)\mathrm{d}t = (\log\left | f(0) \right | + \sum_{j=1}^{m}\log\frac{r}{\left |v_{j} \right |} – \sum_{j=1}^{n}\log\frac{r}{\left |p_{j} \right |}) \int_{0}^{2\pi}g(t)\mathrm{d}t
   Za ovaj Petrovićev rad P. Montel je rekao da je elegantan, a da su rezultati dobijeni “par une analyse simple et ingénieuse”.

6. Posle dvogodišnjeg rada Petrović je rešio (Sur une classe remarquable de séries entières 1, 2(1908), 36-43.) sledeći interesantan problem: Neka je funkcija f predstavljena Teylor-ovim redom f(z) = 1 + z + \sum_{k=2}^{\infty}a_{k}z^{k}(a_{k}> 0) što znači da se može aproksimirati nizom polinoma P_{n}(n = 2,3,…) gde je P_{n}(z) = 1 + z + a_{2}z^{2} + … + a_{n}z^{n}. Odrediti potrebne i dovoljne uslove za funkcije f tako da sve nule polinoma P_{n}(n=2,3,…), dakle i funkcije f, budu negativne.
   Petrović je ovaj problem rešio na “lep i savršeno jednostavan način”, kako kaže Karamata (Mihailo Petrović. Glasnik mat. fiz. astr. (2)3(1948), 123-127.). Pri tome je utvrdio da funkcija f ima oblik f(z) = e_{z}g(z), gde je g cela funkcija nultog roda čije su sve nule manje od -1.
7. Izgleda da su dve Petrovićeve nejednakosti koje slede imale najviše odjeka među matematičarima.
   Ako je f konveksna funkcija na [0,a), a > 0 i x_{1},…,x_{n}, x_{1}+…+x_{n}\in \left [ 0,a \right ), Petrović je dokazao (Sur une fonctionnelle. publ. math. Univ. Belgrade 1(1932), 149-156.) nejednakost \sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\leq f\left ( \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right ) + \left ( n-1 \right ) f(0).
   Ova nejednakost naziva se u literaturi Petrovićeva nejednakost. Ona je više puta uopštavana i o njoj je dosta pisano (Videti na primer, monografiju T. Popoviciu: Les fonctions convexes. Actualités Sci. Ind. No. 992. Paris 1945.).
   Ako \alpha \in R, 0< \theta <\frac{\pi }{2} i ako za kompleksne brojeve z_{1},…,z_{n} važi: \alpha -\theta \leq \arg z_{k}\leq \alpha +\theta , \left ( k=1,…,n \right ), Petrović je dokazao (Théorème sur les intégrales curvilignes. Publ. math. Univ. Belgrade 2(1993), 45-59.) nejednakost \left | \sum_{k=1}^{n} z_{k}\right |\geq \left ( \cos \theta \right )\sum_{k=1}^{n}\left | z_{k} \right |
   Primenom ove nejednakosti Petrović je dobio neke interesantne ocene za integrale. I o ovoj Petrovićevoj nejednakosti dosta je pisano i ona je više puta uopštavana.

Znatno potpuniji prikaz naučnog rada i ocenu najznačajnijih Petrovićevih rezultata dao je M. Tomić (Mihailo Petrović i njegov doprinos u razvoju matematičkih nauka).

Petrovićev uticaj na razvoj matematike u Srbiji bio je ogroman a njegov uspeh u stvaranju naučnih i nastavnih kadrova izvanredan. Kada je 1894. godine postao profesor Velike škole, on je na Filozofskom fakultetu bio sam. Kada je 1938. godine otišao u penziju iza sebe je ostavio “košnicu naučnog rada” kako je napisano u “Politici” od 8. maja 1938. u reportaži posvećenoj Mihailu Petroviću. Sigurno je da bi njegovi učenici sa mnogo više uspeha nastavili da razvijaju beogradsku školu da nisu krajem četrdesetih godina “politički komesari” onoga doba počeli da sprovode novu kadrovsku politiku.

Umro je u okupiranom Beogradu 8. juna 1943. godine.